math

হাফিজুর রহমান হিলেল। 

MATH FORMULA

☞ (a+b)²= a²+2ab+b²
☞ (a+b)²= (a-b)²+4ab
☞ (a-b)²= a²-2ab+b²
☞ (a-b)²= (a+b)²-4ab
☞ a² + b²= (a+b)²-2ab.
☞ a² + b²= (a-b)²+2ab.
☞ a²-b²= (a +b)(a -b)
☞ 2(a²+b²)= (a+b)²+(a-b)²
☞ 4ab = (a+b)²-(a-b)²
☞ ab = {(a+b)/2}²-{(a-b)/2}²
☞ (a+b+c)² = a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)
☞ (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³
☞ (a+b)³ = a³+b³+3ab(a+b)
☞ a-b)³= a³-3a²b+3ab²-b³
☞ (a-b)³= a³-b³-3ab(a-b)
☞ a³+b³= (a+b) (a²-ab+b²)
☞ a³+b³= (a+b)³-3ab(a+b)
☞ a³-b³ = (a-b) (a²+ab+b²)
☞ a³-b³ = (a-b)³+3ab(a-b)
☞ (a2 + b2 + c2) = (a + b + c) 2 – 2(ab + bc + ca)
☞ 2 (ab + bc + ca) = (a + b + c) 2 – (a2 + b2 + c2)
☞ (a + b + c) 3 = a3 + b3 + c3 + 3 (a + b) (b + c) (c + a)          

গণিত (জ্যামিতি)

১.তিন কোণ দেওয়া থালে যে সকল
ত্রিভুজ
আঁকা যায় তাদের বলে-
=সদৃশ ত্রিভুজ।
.
৩.ত্রিভুজের যে কোনো বাহুকে
উভয়দিকে
বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয়ের
সমষ্টি-
=দুই সমকোণ অপেক্ষা বৃহত্তম।
.
৩.কোন ত্রিভুজের একটি বাহু উভয়
দিকে
বর্ধিত করায় উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণগুলি
সমান
হলে , ত্রিভুজটি-
=সমদ্বিবাহু।
.
৪. ২৫৩ ডিগ্রি কোণকে কী কোণ বলে ?
=প্রবৃদ্ধ কোণ।
.
৫.একটি সরলরেখার সাথে আর একটি
রেখাংশ মিলিত হয়ে যে দুটি
সন্নিহিত কোণ
উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি-
=১৮০ ডিগ্রি।
.
৬.কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে
বর্ধিত
করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির
সমষ্টি-
=৩৬০ ডিগ্রী।
.
৭.সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন
বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৩,৪ সেমি হলে,
অতিভুজের মান কত?
=৫ সে.মি।
.
৮.সামন্তরিকের বিপরীত কোণের
অর্ন্তদ্বিখন্ডকদ্বয়-
=পরস্পর সমান্তরাল।
.
৯. একটি বর্গ ক্ষেত্রের এক বাহু অপর
একটি
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার সমান হলে ,
বর্গক্ষেত্র দু.টির কর্ণের অনুপাত হবে-
=৪:১।
.
১০.রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে
সমদ্বিকন্ডিত করলে তাদের অন্তর্ভুক্ত
কোণ-
=৯০ ডিগ্রী।
.
১১. একটি পঞ্চভুজের সমষ্টি-
=৬ সমকোণ।
.
১২.একটি সুষম ষড়ভুজের অন্ত:কোণগুলোর
সমষ্টি-
=৭২০ ডিগ্রি।
.
১৩.বৃত্তের ব্যাস তিনগুন বৃদ্ধি পেলে
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায়-
=৯গুন।
.
১৪.কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর
লম্বদ্বিখন্ড যে বিন্দুতে ছেদ করে
তাকে বলে-
=অন্ত:কেন্দ্র।
.
১৫.স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবং
স্পর্শকের
অন্তর্ভুক্ত কোণ-

গণিতবিদের নামের তালিকা

বিসিএস সহ‬ যে কোন প্রতিযোগিতামুলক পরিক্ষার জন্য

গণিত বিদেরনামের তালিকা‬

–
১. সংখ্যাতত্ত্ব—- পিথাগোরাস
২. জ্যামিতি——ইউক্লিড
৩. ক্যালকুলাস —– নিউটন
৪. ম্যাট্রিক্স ——– কেইসে
৫. ত্রিকোণমিতি—— হিপ্পারচাস
৬. পাটিগণিত—— আর্যভট্র
৭. বীজগণিত ——- মুসা আল খারিজমী
৮. লগারিদম——জন নেপিয়ার
৯. সেটতত্ত্ব——–জর্জ ক্যান্টর
১০. আলগরিদম——-ব্রহ্মগুপ্ত
১১. শূন্যে আবিষ্কারক ——ব্রহ্মগুগুপ্ত ও আর্যভট্র

গণিত | বৃত্ত সম্পর্কিত তথ্য‬

বিসিএস সহ‬ যে কোন প্রতিযোগিতামুলক পরিক্ষার জন্য

※ পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্য কে বলা হয়? =পরিধি
※ বৃত্তের পরিধির সূত্র =2πr
※পরিধির যেকোন অংশকে বলা হয় =চাপ
※পরিধির যেকোন দুই বিন্দুর সংযোগ সরলরেখাকে বলা হয়
=জ্যা( বৃত্তের ব্যাস হচ্ছে বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা)
※ বৃত্তের কেন্দ্রগামী সকল জ্যা-ই =ব্যাস
※ কেন্দ্র থেকে পরিধি পর্যন্ত দূরত্বকে বলা হয় =ব্যাসার্ধ

============
‪#‎বৃত্ত__সম্পর্কিত__কিছু__ধারণাঃ‬
.
※একই সরলরেখায় অবস্থিত তিনটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে কোন বৃত্ত আকা যায়না।
※দুটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে ৩টি বৃত্ত আকা যায়।
※একটি বৃত্তের যেকোন দুটি বিন্দুর সংযোজক রেখাকে জ্যা বলা হয়।
※বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাতকে π বলে।
※বৃত্তের কেন্দ্র থেকে কোন বিন্দুর দুরত্বকে ওই বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে।
※বৃত্তের সমান সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
※বৃত্তের দুটি জ্যায়ের মধ্যে কেন্দ্রের নিকটতম জ্যাটি অপর জ্যা অপেক্ষা বড়।
※বৃত্তের ব্যাসই বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা।
※বৃত্তের যে কোন জ্যা এর লম্বদ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী।
※কোন বৃত্তের ৩টি সমান জ্যা একই বিন্দুতে ছেদ করলে ওই বিন্দুটি বৃত্তের কেন্দ্রে অবস্থিত হবে।
※অর্ধবৃত্তস্থ কোন এক সমকোণ।
»বৃত্ত সম্পর্কিত কিছু সূত্র:
»বৃত্তের ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =πr²
( যেখানে r বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
»গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 4πr²
»গোলকের আয়তন =4÷3πr³
১৷ সর্বপ্রথম সেট তত্ত্বের ধারণা দেন— =জর্জ ক্যান্টর
২৷ ভেনচিত্র কে আবিষ্কার করেন —- =জনভেন
৩৷ একক সেটের উপাদান সংখ্যা — =১টি
৪৷ সেটকে প্রকাশ করার কয়টি পদ্ধতি আছে— =২টি
৫৷ ঃ ” দ্বারা কি বোঝায়– =যেন
–

জ্যামিতি | গণিত

বিসিএস সহ‬ যে কোন প্রতিযোগিতামুলক পরিক্ষার জন্য
১. কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি
— ৩৬০ ডিগ্রী
.
২.সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৩,৪ সেমি হলে, অতিভুজের মান কত?
— ৫ সে.মি
.
৩.সামন্তরিকের বিপরীত কোণের অর্ন্তদ্বিখন্ডকদ্বয়
–পরস্পর সমান্তরাল
.
৪. একটি বর্গক্ষেত্রের এক বাহু অপর একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার সমান হলে , বর্গক্ষেত্র দু.টির
কর্ণের অনুপাত কত?
–৪:১
.
৫.রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিকন্ডিত করলে তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ — ৯০ ডিগ্রী

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সম্পর্কিত সূত্র

জ্যামিতিক সুত্র
মনে রাখুন, সবার জন্য সবসময়ই কাজে দিবে

–
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
1. ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = ১/২(ভূমি×উচ্চতা)
2. সমকোণী ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = ১/২(সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল)
3. সমদ্বিবাহু ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = a/4√(4b² -a²) যেখানে, a= ভূমি; b= অপর বাহু

4. সমবাহু ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = √(3/4)a² ; এখানে, a = যে কোন বাহুর দৈর্ঘ্য

চতুর্ভূজের ক্ষেত্রফল সম্পর্কিত সূত্র

জ্যামিতিক সূত্র
মনে রাখুন, সবার জন্য সবসময়ই কাজে দিবে

–
চতুর্ভূজের ক্ষেত্রফল
১. আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য x প্রস্থ
২. বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহু)²
৩. সামন্তরিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ভূমি x উচ্চতা
৪. আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য +প্রস্থ)
৫. বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 x এক বাহুর পরিমাণ

শতকরা (PERCENTAGE) হিসাব

শতকরা (Percentage)

শতকরা হলো একটি ভগ্নাংশ যার হর সবসময় ১০০ এবং লব শতকরায় নির্ণিত সংখ্যা। যেমন ২০ অংকটির শতকরায় প্রকাশ করলে হবে ২০%।

কৌশলগত সুত্র

যদি A এর আয় B এর আয় অপেক্ষা r% বেশী হয়, তবে B এর আয় A এর আয় অপেক্ষা কম হবে
= (r x ১০০) / (১০০+r)%

সূত্রের প্রয়োগঃ ক-এর বেতন খ-এর বেতন অপেক্ষা ৩৫ টাকা বেশি হলে খ-এর বেতন ক-এর বেতন অপেক্ষা কত কম?

সমাধানঃ (৩৫ x ১০০) / (১০০+৩৫) = ৩৫০০/১৩৫ = ২৫.৯৩ টাকা

কোন কিছুর দাম বৃদ্ধি পেলে ব্যবহার কমাতে হবে (consumption reduction) = (r x ১০০) / (১০০+r)
সূত্রের প্রয়োগঃ দুধের দাম ২৫% বেড়ে যাওয়ায় এক ব্যক্তি দুধের ব্যবহার এমনভাবে কমালেন যেন তার বাৎসরিক ব্যয় অপরিবর্তিত থাকে। তিনি দুধের ব্যবহার শতকরা কত ভাগ কমালেন?

সমাধানঃ (২৫ x ১০০) / (২৫ + ১০০)% = ২৫০০/১২৫ %= ২০%

কোন কিছুর দাম r% কমে গেলে ব্যবহার বৃদ্ধি করতে হবে (Consumption Increase) = (r x ১০০) / (১০০ – r)
সূত্রের প্রয়োগঃ তেলের মূল্য ২০% কমে গেলে তেলের ব্যবহার শতকরা কি পরিমাণ বাড়ালে তেলের জন্য খরচের কোন পরিবর্তন হবে না?

সমাধানঃ (২০ x ১০০) / (১০০-২০)% = ২০০০ / ৮০ = ২৫%

যদি A এর আয় B এর আয় অপেক্ষা r% কম হয়, তবে B এর আয় A এর আয় অপেক্ষা বেশী হবে
= (r x ১০০)/(১০০ – r)%

কোন স্থানের জনসংখ্যা p হলে এবং বৃদ্ধির হার r% হলে, n বছর পর জনসংখ্যা হবে = p(১ + r/১০০)n
n বছর আগে জনসংখ্যা ছিল = p/ (১ + r/১০০)n
কোন স্থানের জনসংখ্যা p হলে এবং হ্রাসের পরিমাণ r% হলে ন বছর পর জনসংখ্যা হবে = p(১- r/১০০)n
একই বস্তুর পরপর বৃদ্ধি এবং হ্রাস পেলে বস্তুটির পরিবর্তন হবে = (+ r) + (- r){(+ r)(- r)/১০০}
[এখানে, + r বৃদ্ধি এবং – r হ্রাস বুঝানো হয়েছে]

পরপর দুটি discount থাকলে (Successive discount) = (- r) + (- r) + {(- r) (- r)/১০০}
[এখানে, + r বৃদ্ধি এবং – r হ্রাস বুঝানো হয়েছে]

গণিতের সর্টকাট (PART-1)

অনুপাতের অংক গুলো করার জন্য শুধু ৩টি টেকনিক মনে রাখুন-
★ সুত্রঃ ১

মনে রাখুনঃ যখন দুইটি অনুপাতের সংখ্যা দুইটির প্রার্থক্য একই হয় তখন-
# টেকনিক : p={(x ÷ s)× d}
অর্থাৎ মিশ্রিত দ্রব্যের
পরিমান(p)=মোট মিশ্রনের
পরিমান(x) ÷ অনুপাতের ছোট
সংখ্যা(s) × অনুপাতের
প্রার্থক্য(d)
.
# উদাহরনঃ 60লিটার কেরোসিন ও পেট্রোলের মিশ্রনের অনুপাত 7 : 3 ঐ মিশ্রনে আর কত লিটার পেট্রোল মেশালে অনুপাত 3:7 হবে?
.
# সমাধানঃam={(t ÷ s)× d}
=(60 ÷ 3) × (7-3)
=20×4=80(উঃ

★ সুত্রঃ ২

মনে রাখুনঃ যখন দুইটি অনুপাতের সংখ্যা ২টির প্রার্থক্য ভিন্ন হয় তখন-
# টেকনিক : [p=w ÷ (s1+ s2)]
# অর্থাৎ
মিশ্রিত বস্তুর পরিমান(p)=বস্তুর
মোট ওজন(w)÷১ম অনুপাতের
সংখ্যা দুটির যোগফল(s1 + s2)
.
★# উদাহরনঃ একটি সোনার গহনার ওজন 16 গ্রাম।তাতে সোনার পরিমানঃতামার পরিমান= 3:1 তাতে আর কি পরিমান সোনা মেশালে
অনুপাত 4:1 হবে।

(অংকটি 17 ও 21তম বিসিএস সহ মোট10টি পরিক্ষায় আসছে। )
.
# সমাধানঃp={w ÷ (s1 + s2)}
={16 ÷(3+1)}
=16÷4=4(উঃ
==================
# সুত্র৩ঃ

উত্তর রাশি বের করার টেকনিক
#টেকনিক মনেরাখুনঃ

উত্তর রাশি=(২য় অনুপাত×পূর্ব রাশি) ÷ (১ম অনুপাত )
.
# উদাহরনঃদুইটি রাশির
অনুপাত ৪:৭।পূর্ব রাশি ২৪ হলে
উত্তর রাশি কত???

(অংকটি অনেক পরিক্ষায় আসছে।)
# সমাধানঃ
উত্তর রাশি=(২য় অনুপাত×পূর্ব রাশি÷(১ম অনুপাত )
=(৭×২৪)÷(৪)
=৪২ (উত্তর)।

লাভ-ক্ষতি (PROFIT-LOSS) সূত্রাবলী

Profit-Loss (লাভ-ক্ষতি) সূত্রাবলী:

# লাভ = বিক্রয় মূল্য – ক্রয় মূল্য।
# ক্ষতি = ক্রয় মূল্য – বিক্রয় মূল্য।
# লাভ বা ক্ষতি সব সময় ক্রয় মূল্যের উপর হিসেব করা হয়।
# ধর যাক কোন কিছু ১০% লাভে বিক্রয় করা হলো, তাহলে বিক্রয় মূল্য = ক্রয় মূল্যের ১১০%।
# ধর যাক কোন কিছু ১০% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো, তাহলে বিক্রয় মূল্য = ক্রয় মূল্যের ৯০%।

# কৌশলগত সূত্র:

# ক্ষতি % = (ক্ষতি x ১০০) / ক্রয় মূল্য।
# লাভ % = (লাভ x ১০০) / ক্রয় মূল্য।
# লাভ এর ক্ষেত্রে ক্রয় মূল্য = (১০০/(১০০+ লাভ %)) x বিক্রয় মূল্য।
# ক্ষতি এর ক্ষেত্রে ক্রয় মূল্য = (১০০/(১০০ – ক্ষতি %)) x বিক্রয় মূল্য।

সুদকষা

সূত্র–১: যখন মুলধন, সময় এবং সুদের হার
সংক্রান্ত মান দেওয়া থাকবে তখন সুদ /
মুনাফা = (মুলধন x সময় x সুদের হার) / ১০০
প্রশ্নঃ ৯.৫% হারে সরল সুদে ৬০০ টাকার ২
বছরের সুদ কত?
সমাধানঃ সুদ / মুনাফা = (৬০০ x ২ x ৯.৫) /
১০০= ১১৪ টাকা
সূত্র–২: যখন সুদ, মুলধন এবং সুদের হার
দেওয়া থাকে তখন – সময় = (সুদ x ১০০) /
(মুলধন x সুদের হার)
প্রশ্নঃ ৫% হারে কত সময়ে ৫০০ টাকার
মুনাফা ১০০ টাকা হবে?
সমাধানঃসময় = (১০০ x ১০০) / (৫০০ x ৫)= ৪
বছর।